*** Raccordement d'une ellipse avec une courbe

On considère l'ellipse \(\mathcal E\) représentée dans un repère orthonormé dans le fichier de géométrie dynamique suivant. Le point \(\text{P}(-1~;1)\) appartient à l'ellipse.
L'équation réduite de la tangente à l'ellipse au point \(\text{P}\) est \(y=\dfrac{1}{9}x+\dfrac{10}{9}\).

1. Démontrer que la courbe représentative de la fonction \(g\) définie sur \([-1~;+\infty[\) par \(g(x)=x^2+\dfrac{19}{9}x+\dfrac{19}{9}\) se raccorde bien à l'ellipse au point \(\text{P}\).

Soit \(a\) un nombre réel strictement positif et \(f_a\) la fonction définie sur \([-1~;+\infty[\) par \(f_a(x)=ax^2+\Big(\dfrac{1}{9}+2a\Big)x+\dfrac{10}{9}+a\).

2. Vérifier que, pour tout \(x\) dans \([-1~;+\infty[\), \(f_1(x)=g(x)\).
3. À l'aide du fichier de géométrie dynamique suivant, conjecturer pour quelles valeurs de \(a\) la courbe représentative de la fonction \(f_a\) se raccorde bien à l'ellipse.

4. Démontrer que, pour tout \(x\) dans \([-1~;+\infty[\), \(f'_a(x)=2ax+\dfrac{1}{9}+2a\).
5. Démontrer que la courbe représentative de la fonction \(f_a\) se raccorde bien à l'ellipse au point \(\text{P}\)pour tout \(a>0\).